Question

設M、N為拋物線C：y＝x²上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l₁、l₂，與x軸分別交于A、B兩點，且l₁與l₂相交于點P，若|AB|＝1．

(1)求點P的軌跡方程；
(2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1）y＝x²－1   （2）見解析

(1)設M(m，m²)，N(n，n²)，則依題意知，切線l₁，l₂的方程分別為y＝2mx－m²，y＝2nx－n²，則A(，0)，B(，0)．
設P(x，y)，由，得①
因為|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)²－4mn＝4，將①代入上式，得
y＝x²－1．
∴點P的軌跡方程為y＝x²－1．
(2)證明：設直線MN的方程為y＝kx＋b(b>0)．
聯立方程
消去y，得x²－kx－b＝0．
所以m＋n＝k，mn＝－b．②
點P到直線MN的距離
d＝，
|MN|＝|m－n|，
∴S_△MNP＝d·|MN|
＝|k()－mn＋b|·|m－n|
＝·(m－n)²·|m－n|＝2．
即△MNP的面積為定值2．