Question

【題目】某果園種植“糖心蘋果”已有十余年,為了提高利潤,該果園每年投入一定的資金,對種植采摘包裝宣傳等環節進行改進.如圖是2009年至2018年,該果園每年的投資金額(單位:萬元)與年利潤增量(單位:萬元)的散點圖:

該果園為了預測2019年投資金額為20萬元時的年利潤增量,建立了關于的兩個回歸模型;

模型①:由最小二乘公式可求得與的線性回歸方程:;

模型②:由圖中樣本點的分布,可以認為樣本點集中在曲線:的附近,對投資金額做交換,令,則,且有,,,.

(1)根據所給的統計量,求模型②中關于的回歸方程;

(2)分別利用這兩個回歸模型,預測投資金額為20萬元時的年利潤增量(結果保留兩位小數);

(3)根據下列表格中的數據,比較兩種模型的相關指數,并說明誰的預測值精度更高更可靠.

回歸模型	模型①	模型②
回歸方程
	102.28	36.19

附:樣本的最小乘估計公式為,;

相關指數.

參考數據:,.

Answer 1

【答案】(1).(2)(萬元)(3)答案見解析

【解析】

(1)根據題設中的數據和公式，求得 的值，即可得到回歸直線的方程；

(2)把時,代入回歸直線的方程，即可求得求得模型①的年利潤增量的預測值和模型②的年利潤增量的預測值；

(3)由,可得模型①的小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，得到結論.

(1)由題意，知,,可得,,

又由,

則

所以,模型②中關于的回歸方程.

(2)當時,模型①的年利潤增量的預測值為(萬元),

當時,模型②的年利潤增量的預測值為

(萬元),

(3)由表格中的數據,可得,即,

所以模型①的小于模型②,說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好,

所以當時,模型②的預測值比模型①的預測值,精度更高更可靠.