Question

【題目】設有一組圓，下列四個命題：①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經過原點；其中真命題的個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據圓的方程找出圓心坐標，發現滿足條件的所有圓的圓心在一條直線上，所以這條直線與所有的圓都相交，②正確；根據圖象可知這些圓互相內含，不存在一條定直線與所有的圓均相切，不存在一條定直線與所有的圓均不相交，所以①③錯；利用反證法，假設經過原點，將代入圓的方程，因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在使上式成立，假設錯誤，則圓不經過原點，④正確．

解：根據題意得：圓心，圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項②正確；

考慮兩圓的位置關系，

圓：圓心，半徑為，

圓：圓心，，即，半徑為，

兩圓的圓心距，

兩圓的半徑之差，

任取或2時，，含于之中，選項①錯誤；

若取無窮大，則可以認為所有直線都與圓相交，選項③錯誤；

將帶入圓的方程，則有，即，

因為左邊為奇數，右邊為偶數，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點，選項④正確．

則正確命題是②④．

故選：．