Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，且PF2垂直于x軸，連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設=λ．

（1）若點P的坐標為（2，3），求橢圓C的方程及λ的值；

（2）若4≤λ≤5，求橢圓C的離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;(2) []

【解析】

（1）由PF2⊥x軸，且點P的坐標為（2，3），可得關于a，b，c的方程，聯立求得a，b的值，則橢圓方程可求，寫出直線PF1的方程，與橢圓方程聯立，解得Q的橫坐標，由λ=求解λ的值；

（2）由PF2⊥x軸，不妨設P在x軸上方，可得P（c，y0），y0＞0，設Q（x1，y1），由P在橢圓上，解得P（c，），再由已知向量等式得Q的坐標，結合點Q在橢圓上，可得．再由4≤λ≤5，即可求得橢圓C的離心率的取值范圍．

解：（1）∵PF2⊥x軸，且點P的坐標為（2，3），

∴a2-b2=c2=4，=1，

解得：a2=16，b2=12，

∴橢圓C的方程為=1．

∴F1（-2，0），直線PF1的方程為y=（x+2），

將y=（x+2）代入橢圓方程，解得xQ=-，

∴λ=；

（2）∵PF2⊥x軸，不妨設P在x軸上方，

P（c，y0），y0＞0，設Q（x1，y1）．

∵P在橢圓上，∴=1，解得y0=，即P（c，）．

∵F1（-c，0），由PQ=λF1Q，得c-x1=λ（-c-x1），，

解得x1=-c，y1=-，∴Q（-c，-），

∵點Q在橢圓上，∴=1，即（λ+1）2e2+（1-e2）=（λ-1）2．

∴（λ+2）e2=λ-2，從而e2=．

∵4≤λ≤5，∴，解得．

∴橢圓C的離心率的取值范圍是[]．