Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，點E在棱PD上，且DE=2PE.

（1）求證：BE⊥平面PCD；
（2）求二面角A一PD－B的大小．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線線的位置關系、線面垂直、二面角的求法等數學知識，考查幾何法和向量法相結合證明線面垂直，考查空間想象能力、推理論證能力、計算能力.第一問，利用向量法證明線面垂直，如圖，建立直角坐標系，得到，，坐標，通過計算可得，，則，，利用線面垂直的判定得平面；第二問，利用向量法求二面角，計算出平面PAD的法向量和平面PBD的法向量，利用夾角公式求出夾角的余弦值，結合圖形判斷二面角為銳角，得到二面角的值.
試題解析：如圖，以B為原點，分別以BC、BA、BP為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，則B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)，D(1，1，0)，P(0，0，1)，又DE＝2PE，∴.(2分)

(1)∵，，，
∴，
.
∴，，又，
∴平面.(8分)
(2)設平面的一個法向量為，
則由得，
令，則．
又，設平面的法向量為，
則由,得，
令，則，
∴，
∴.
又二面角A—PD—B為銳二面角，故二面角A—PD—B的大小為60°.(13分)