Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱⊥底面，，是的中點，作交于點．

（1）證明平面；
（2）證明平面．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

試題分析：（1）連接AC，AC交BD于O．連接EO．根據正方形的性質，得EO是△PAC的中位線，得PA∥EO，從而得到PA∥平面EDB；
（2）過F點作FG⊥PC于G，可得FG⊥平面PDE，FG是點F到平面PDE的距離．等腰Rt△PDC中，算出PE長和△PED的面積，再利用三角形相似算出PF和FG的長，最后用錐體體積公式，可算出三棱錐P-DEF的體積．
試題解析：方法一：
（1）證明：連結AC，AC交BD于O，連結EO。
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點
在中，EO是中位線，∴PA//EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA//平面EDB

（2）證明：
∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴。   ①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC，∴。   ②
由①和②推得平面PBC。
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD。
方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設。
（1）證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG。
依題意得。
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為且
。
∴，這表明PA//EG。
而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB。

（2）證明；依題意得，。又，故。
∴.
由已知，且，所以平面EFD.