Question

已知曲線C₁的參數方程為

x=2sinθ y=cosθ

（θ為參數），曲線C₂的參數方程為

x=2t y=t+1

（t為參數）．
（1）若將曲線C₁與C₂上各點的橫坐標都縮短為原來的一半，分別得到曲線C₁′和C₂′，求出曲線C₁′和C₂′的普通方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求過極點且與C₂′垂直的直線的極坐標方程．

Answer 1

分析：（1）橫坐標都縮短為原來的一半，就是將x的值變為原來的一半就可求出變換后的曲線方程，再利用同角三角函數的關系進行消元即可；
（2）先求出過原點且與曲線C₂′垂直的直線方程的普通方程，再將普通方程化成極坐標方程即可．

解答：解：（1）C₁′：

x=sinθ y=cosθ

（θ為參數），（2分）
C₂′：

x=t y=t+1

（t為參數）（4分）
C₁′的普通方程：x²+y²=1，C₂′的普通方程：y=x+1（6分）
（2）在直角坐標系中過極點即為過原點與曲線C₂′垂直的直線方程：即為y=-x（8分）
在極坐標系中，直線化為tanθ=1，方程為θ=

π

4

或θ=

3π

4

點評：本題主要考查了圓的參數方程，以及簡單曲線的極坐標方程和直線的參數方程，屬于基礎題．