Question

設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率且過橢圓右焦點的直線與橢圓C交于兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦， MNAB，求證：為定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為或（III）略

(1) 橢圓的頂點為，即，                 1分
，所以，                              2分
橢圓的標準方程為                                3分  
（2）由題可知,直線與橢圓必相交.
設存在直線為，且，.
由得，                     
，，                  5分

=    7分  
所以，故直線的方程為或           9分
（3）設,
由（2）可得：  |MN|=
=               11分
由消去y，并整理得： ，
|AB|=，                         13分
∴ 為定值                           14分