Question

【題目】如圖，三棱柱中，底面為等邊三角形，E，F分別為，的中點，，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過計算可得，通過證明平面，可得，再根據直線與平面垂直的判定定理可得平面；

（2）先說明直線，，兩兩垂直，再以，，的方向為x，y，z軸的正方向，以點E為原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量可求得結果.

（1）證明：設，∵，

則，，，

∵點E為棱的中點，∴，

∴，∴.

∵三棱柱的側面為平行四邊形，

∴四邊形為矩形，

∵點F為棱的中點，

∴，，

∴，∴.

∵三棱柱的底面是正三角形，E為的中點，

∴.

∵，且平面，平面，且，相交，

∴平面，∵平面，∴，∵，

∴平面.

（2）由（1）可知平面，∴，∴平面，

∴三棱柱是正三棱柱，

設的中點為M，則直線，，兩兩垂直，

分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，以點E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，，，，

則，，.

設平面的一個法向量為，則，則，則，

不妨取，則，則，所以，

設直線與平面所成角為，

則，

因為，所以

則直線與平面所成角的大小為.