Question

1、已知復數z=m（m-1）+（m²+2m-3）i，當實數m取什么值時，復數z是：
（1）零；（2）純虛數；　（3）z=2+5i．
2、設復數z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數，求

.

z

．

Answer 1

分析：1、（1）根據實部和虛部為零，列出方程進行求解；（2）令它的實部為零，虛部不為零列出方程進行求解；
（3）根據實部和虛部對應相等，列出方程進行求解；
2、利題意中復數的模列出一個方程，再由已知的復數是純復數，由它的實部為零，虛部不為零列出一個方程，組成方程組進行求解，再求出它的共軛復數．

解答：解：1．（1）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i=0，∴

m(m-1)=0 m2+2m-3=0

，解得m=1；
（2）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i是純虛數，∴

m(m-1)=0 m2+2m-3≠0

，解得m=0；
（3）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i=2+5i，∴

m(m-1)=2 m2+2m-3=5

，解得m=2，
2．∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i，且|z|=1，∴m²（m-1）²+（m²+2m-3）²=1
化簡得，2m⁴+2m³-m²-12m+8=0   ①，
∵（3+4i）•z=（3+4i）[m（m-1）+（m²+2m-3）i]=（-m²-11m+12）+（7m²+2m-9）i，且它是純虛數，
∴-m²-11m+12=0，解得，m=-12或1，代入①式驗證也成立，故z=±(

4

5

+

3

5

i)，
則

.

z

=z=±(

4

5

-

3

5

i)．

點評：本題考查復數的綜合知識的應用，涉及了共軛復數和復數相等的定義、純虛數的定義的應用，難度不大，主要考查了基本的定義．