Question

（本小題共14分）  
已知拋物線P：x2="2py" (p>0)．
（Ⅰ）若拋物線上點到焦點F的距離為．
（ⅰ）求拋物線的方程；
（ⅱ）設拋物線的準線與y軸的交點為E，過E作拋物線的切線，求此切線方程；
（Ⅱ）設過焦點F的動直線l交拋物線于A，B兩點，連接，并延長分別交拋物線的準線于C，D兩點，求證：以CD為直徑的圓過焦點F．

Answer 1

解：（Ⅰ）（ⅰ）由拋物線定義可知，拋物線上點到焦點F的距離與到準線距離相等，
即到的距離為3；
∴，解得．
∴ 拋物線的方程為．     ………………4分
（ⅱ）拋物線焦點，拋物線準線與y軸交點為，
顯然過點的拋物線的切線斜率存在，設為，切線方程為．
由， 消y得， ………………6分
，解得．       ………………7分
∴切線方程為．      ………………8分
（Ⅱ）直線的斜率顯然存在，設：，
設，，
由   消y得 ．  且．
∴，；
∵ ， ∴ 直線：，                              
與聯立可得， 同理得．……………10分
∵ 焦點，
∴，，                           ………………12分
∴

∴ 以為直徑的圓過焦點．      ………………14分

略