Question

【題目】已知函數有極值，且導函數的極值點是的零點.

（1）求關于的函數關系式，并寫出定義域；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據函數解析式先求得導函數，由極值點存在條件可知，可得；再求得導函數的極值點，即可由導函數的極值點是的零點代入求得等量關系，結合不等式求得定義域.

（2）利用分析法分析可知，若證明，只需證明，利用換元法轉化并求得導函數，結合導函數的單調性和最值證明不等式成立即可.

（1）函數,

則，

因為有極值點，所以，

化簡可得，

導函數的極值點是的零點.

而導函數的極值點為二次函數頂點的橫坐標，所以是的零點.

即，

代入可得，化簡可知，

又，即，解得，

，

（2）證明:要證，，

只要證，

只要證，

只要證，

設，，則，

所以，，

，

，

原式得證.