Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在點處切線的方程；

（Ⅱ）求函數的單調區間；

（Ⅲ）當時，恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）時，的單調增區間為；單調減區間為和；

時，的單調增區間為和；單調減區間為.

（3）.

【解析】

（1）求出函數的導函數，代入，求得，再求，利用直線方程的點斜式求解即可.

（2）求出，通過討論的取值，分別求出，所對應的區間即為函數的單調區間.

（3）當時恒成立等價于在恒成立，令，由導數求出函數的最大值，即可求得的取值范圍.

（1），得.

當時，，，即函數在處的切線斜率為0.

又,故曲線在點處切線的方程為.

(2).

,

①若，由得；由得，又，

所以在上單調遞增，在和上單調遞減.

②若，由得；由得，又，

所以在和上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，時，的單調增區間為；單調減區間為和.

時，的單調增區間為和；單調減區間為.

（3）時，恒成立,即在恒成立.

令，則.

則時，；，.

在上單調遞減，在上單調遞增，則.

.