Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由橢圓定義直接求得即可.

（2）假設(shè)存在點(diǎn),使得為定值，當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程通過設(shè)而不求得的表達(dá)式，再討論其是否過定點(diǎn).最后將直線的斜率為的情況代入檢驗(yàn)即可.

（1）由已知得，∴，則的方程為；

（2）假設(shè)存在點(diǎn),使得為定值，

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立, 得

設(shè)，則，

要使上式為定值, 即與無關(guān)，應(yīng)有

解得，此時(shí)

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，不妨設(shè)，當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)

綜上，存在點(diǎn)使得為定值．