Question

【題目】已知函數，其中．

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）記函數的導函數是，若不等式對任意的實數恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）設函數，是函數的導函數，若函數存在兩個極值點，，且，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據導數的幾何意義可求切線斜率，由點斜式可得切線方程；（2）先求導，則不等式對任意的實數恒成立，轉化為對任意實數恒成立，構造函數，分類討論，即可求出的范圍；（3）先求導根據函數存在兩個極值點，可得，且，再化簡，可得到，構造，，求出函數的最值即可.

（1）當時，，其中．故．

，故．

所以函數在處的切線方程為，即．

（2）由，可得．

據題意可知，不等式對任意實數恒成立，

即對任意實數恒成立，

令，．故．

若，則，在上單調遞增，，故符合題意．

若，令，得（負舍）．

當時，，在上單調遞減，故，與題意矛盾，所以不符題意．

綜上所述，實數a的取值范圍．

（3）據題意，其中．

則．

因為函數存在兩個極值點，，所以，是方程的兩個不等的正根，

故得，且

所以

；

，

據可得，，

即，又，故不等式可簡化為，

令，，則，

所以在上單調遞增，又，

所以不等式的解為．

所以實數a的取值范圍是．