Question

【題目】已知，函數.

（1）當時，解不等式；

（2）若函數的值域為，求的取值范圍；

（3）若關于的方程的解集中恰好只有一個元素，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1)根據對數函數的單調性可解得, 注意真數大于零;

(2) 化簡得到的值域為，故能夠取到一切大于0的實數，由于二次項系數含參，故需要分類討論，當時，顯然不符合題意；故只能，再結合即得答案.

(3) 化簡對數方程得到,在的條件下只有一個根，然后分類討論即可得到答案.

(1) 時，不等式等價于,

所以,所以,所以,

所以不等式的解集為.

(2) 因為函數的值域為,即的值域為,故能夠取到一切大于0的實數,

當時,,不符合題意;

當時,

不符合題意,

當時, 根據二次函數的圖象和性質可得,解得;

綜上所述: 的取值范圍是.

(3) 關于的方程的解集中恰好只有一個元素,

所以的解集中恰好只有一個元素,

即且的解集中恰好只有一個元素,

所以,即,

①當時,解得,此時 ,滿足題意;

②當時, ,此時也滿足題意;

③當且時,兩根為,,

當時,由 得,

當時,由得,

因為和只能取一個值,

所以只能取,所以且,

解得.

綜上所述:的取值范圍是.