Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時,求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍；

（3）設函數(shù),若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】

（1）求出f（x）的導數(shù)，求出f′（1），f（1），代入切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍結合二次函數(shù)的性質得到函數(shù)的單調性，從而求出a的具體范圍；

（3）構造函數(shù)（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需（x）max＞0，根據(jù)函數(shù)的單調性求出（x）max，從而求出a的范圍．

（1）解: 當時,,, ,

曲線在點處的斜率為, 故曲線在點處的切線方程為,即

（2）解: . 令,要使在定義域內(nèi)是增函數(shù),只需≥在區(qū)間內(nèi)恒成立. 依題意,此時的圖象為開口向上的拋物線,,其對稱軸方程為,,則只需≥,即≥時,≥,≥,

所以定義域內(nèi)為增函數(shù),實數(shù)的取值范圍是.

（3）解: 構造函數(shù),,依題意,

由（2）可知≥時,為單調遞增函數(shù),

即在上單調遞增,

,則,

此時,,即成立.

當≤時,因為,,

故當值取定后,可視為以為變量的單調遞增函數(shù),

則≤,,

故≤,

即≤,不滿足條件.

所以實數(shù)的取值范圍是.