Question

已知函數.
(Ⅰ)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的單調區間；
(Ⅲ)設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)； 
(Ⅱ) ①當時， 的單調遞增區間是，單調遞減區間是.
②當時， 的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
③當時，的單調遞增區間是. 
④當時， 的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.
（Ⅲ）。

解析試題分析：.（Ⅰ），解得.  2分                             
（Ⅱ）.
①當時，，，
在區間上，；在區間上，
故的單調遞增區間是，單調遞減區間是.      3分
②當時，，
在區間和上，；在區間上，
故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.  4分
③當時，， 故的單調遞增區間是.  5分
④當時，，
在區間和上，；在區間上，
故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.   6分
（Ⅲ）由已知，在上有.        8分              
由已知，，                   9分
由（Ⅱ）可知，
①當時，在上單調遞增，
故，
所以，，解得，故.     11分
②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故.
由可知，，，
所以，，， 綜上所述，.       14分
考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的最值。
點評：當含有參數時，我們也可以通過解不等式來得到單調遞增（或單調遞減）區間，這樣問題就轉化為解含參不等式。解含參不等式主要應用的數學思想是分類討論，常討論的有：開口方向，兩個的大小，和判別式∆，討論時要不重不漏。