Question

【題目】設f（k）是滿足不等式log2x+log2（52k﹣1﹣x）≥2k（k∈N*）的自然數x的個數．
（1）求f（k）的函數解析式；
（2）Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n），求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由原不等式得log2（52k﹣1x﹣x2）≥2k=log222k，

則x2﹣52k﹣1x+22k≤0，

故2k﹣1≤x≤42k﹣1．

∴f（k）=42k﹣1﹣2k﹣1+1=32k﹣1+1（k∈N*）；

（2）

解：kf（k）=3k2k﹣1+k．

Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+22+…+n2n﹣1）+（1+2+…+n），

設t=1+22+…+n2n﹣1（1）

2t=12+222+…+n2n（2）

（1）式減（2）式得﹣t=1+2+…+2n﹣1﹣n2n

∴t=（n﹣1）2n+1

∴ ．

【解析】（1）由原不等式得log2（52k﹣1x﹣x2）≥2k=log222k ， 則x2﹣52k﹣1x+22k≤0，得到x的取值范圍后，就能求出f（k）的解析式；（2）由Sn=f（1）+2f（2）+…+nf（n）=3（1+22+…+n2n﹣1）+（1+2+…+n），利用錯位相減法、等差數列的求和公式，即可求得結果．
【考點精析】本題主要考查了對數的運算性質和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握①加法：②減法：③數乘：④⑤；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．