Question

【題目】已知點A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））是函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）圖象上的任意兩點，且角φ的終邊經過點P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（ ， ）內有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：角φ的終邊經過點P（1，﹣ ），tanφ=﹣ ，∵﹣ ＜φ＜0，∴φ=﹣ ．

由|f（x1）﹣f（x2）|=4時，|x1﹣x2|的最小值為 ，得T= ，即 = ，∴ω=3．

∴f（x）=2sin（3x﹣ ）

（2）解：∵x∈（ ， ），

∴3x﹣ ∈（0，π），

∴0＜sin（3x﹣ ）≤1．設f（x）=t，

問題等價于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）僅有一根或有兩個相等的根．

∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）．作出曲線C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）與直線l：y=﹣m的圖象．

∵t= 時，y=﹣ ；t=0時，y=0；t=2時，y=10．

∴當﹣m=﹣ 或0≤﹣m＜10時，直線l與曲線C有且只有一個公共點．

∴m的取值范圍是：m= 或﹣10＜m≤0

【解析】（1）由題意，先求tanφ=﹣ ，根據φ的范圍，可求φ的值，再求出函數的周期，再利用周期公式求出ω的值，從而可求函數解析式．（2）由x∈（ ， ），可得0＜sin（3x﹣ ）≤1．設f（x）=t，問題等價于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）僅有一根或有兩個相等的根，作出曲線C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）與直線l：y=﹣m的圖象，討論即可得解m的求值范圍．