Question

【題目】如圖，直角三角形中， ， ， ， 為線段上一點，且，沿邊上的中線將折起到的位置.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）當平面平面時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：

(1)利用題意首先證得平面，由線面垂直的判斷定理可得.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可求得二面角的余弦值為．

試題解析：

由已知得， .

（Ⅰ）證明：取中點，連接，因為， 且，所以，所以. 又因為， 為的中點，所以，又，所以平面，又平面，所以.

（Ⅱ）因為平面 平面，平面 平面， ， 平面，所以平面，所以兩兩垂直. 以為坐標原點，以、、所在直線分別為

軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系. 則， ， ，

， ，設平面的法向量為，則，不妨令，得. 又平面的一個法向量為，

所以，即二面角的余弦值為.