Question

【題目】已知拋物線的焦點為, 直線過點.

(Ⅰ)若點到直線的距離為, 求直線的斜率;

(Ⅱ)設為拋物線上兩點, 且不與軸垂直, 若線段的垂直平分線恰過點, 求證: 線段中點的橫坐標為定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=k（x-4），由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），因為點F到直線l的距離為，所以，由此能求出直線l的斜率；（Ⅱ）設線段AB中點的坐標為N，A，B，因為AB不垂直于x軸，所以直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為，由此能夠證明線段AB中點的橫坐標為定值

試題解析：（Ⅰ）由已知，x=4不合題意．設直線l的方程為y=k（x-4），

由已知，拋物線C的焦點坐標為（1，0），

因為點F到直線l的距離為，

所以，

解得，所以直線l的斜率為 .

(Ⅱ) 設線段中點的坐標為, ,

因為不垂直于軸,

則直線的斜率為, 直線的斜率為,

直線的方程為,

聯立方程

消去得,

所以,

因為為中點, 所以, 即,

所以.即線段中點的橫坐標為定值.