Question

（2006•石景山區一模）已知函數f(x)=cos(π-x)sin(

π

2

+x)+

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值及最小值；
（Ⅲ）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：函數解析式利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據x的范圍求出這個角的范圍，求出正弦函數的值域，即可確定出f（x）的最大值及最小值；
（Ⅲ）根據正弦函數的單調性即可確定出函數的單調增區間．

解答：解：f（x）=-

1

2

-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴當x=0，即2x-

π

6

=-

π

6

時，f（x）有最小值-1，
當x=

π

3

，即2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）有最大值

1

2

；
（Ⅲ）∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+2kπ≤2x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的單調遞增區間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．