Question

【題目】設是橢圓上的點，，是焦點，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設，是橢圓上的兩點，且，（是定數），問線段的垂直平分線是否過定點？若過定點，求出此定點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點，理由見解析

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得出，可將橢圓方程化為，再將點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，可得出橢圓的標準方程；

（2）分和兩種情況討論，在時，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，在直線的斜率存在的情況下，設直線的方程為，將該直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得出，并求出線段的垂直平分線方程，可求出線段的垂直平分線所過定點坐標，在直線垂直于軸時，檢驗定點是否在線段的垂直平分線軸上；在時，直接根據對稱性得出結論.

（1）由于橢圓的離心率為，，

所以，橢圓的標準方程為，

將點的坐標代入橢圓的標準方程得，得，

因此，橢圓的方程為；

（2）當時，若直線的斜率存在，設直線的方程為，則.

將直線的方程與橢圓方程聯立，得.

由韋達定理可得，①，

所以，，則線段的中點坐標為.

則線段的垂直平分線方程為，即，

即，此時，線段的垂直平分線過定點；

若直線垂直于軸，則點、兩點關于軸對稱，線段的垂直平分線為軸，過點；

當時，若直線關于坐標軸對稱，則線段的垂直平分線為坐標軸，過原點；

若直線、關于原點對稱，則線段的中點為原點，其垂直平分線過原點.

綜上所述，線段的垂直平分線過定點.