Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若，求證：函數在（1，+∞）上是增函數；

（Ⅱ）求函數在[1，e]上的最小值及相應的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入，求導，通過導數恒為正值進行證明；（Ⅱ）求導，通過討論參數的取值，研究函數的極值點與所給區間的關系，進而研究函數在所給區間上的單調性和極值、最值進行求解.

試題解析：（Ⅰ）當a=﹣2時，f（x）=x2﹣2lnx，當x∈（1，+∞），，故函數f（x）在（1，+∞）上是增函數．

（Ⅱ），當x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．

若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=﹣2，x=1時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是增函數，此時[f（x）]min=f（1）=1．

若﹣2e2＜a＜﹣2，當時，f'（x）=0；當時，f'（x）＜0，

此時f（x）是減函數；當時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數．

故[f（x）]min==

若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=﹣2e2，x=e時，f'（x）=0），

故函數f（x）在[1，e]上是減函數，此時[f（x）]min=f（e）=a+e2．

綜上可知，當a≥﹣2時，f（x）的最小值為1，相應的x值為1；

當﹣2e2＜a＜﹣2時，f（x）的最小值為，相應的x值為；

當a≤﹣2e2時，f（x）的最小值為a+e2，相應的x值為e