Question

選修4-5：不等式選講
已知關于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）當a=4時，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=4時，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，分類討論，去掉絕對值，分別求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化簡f（x）=|2x+1|-|x-1|的解析式，求出f（x）的最小值為，則由 ，解得實數a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=4時，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，當時，不等式為-x-2≤2，解得．（1分）
當時，不等式為 3x≤2，解得．（2分） 當x＞1時，不等式為x+2≤2，此時x不存在．（3分）
綜上，不等式的解集為．（5分）
（Ⅱ）設f（x）=|2x+1|-|x-1|=，
故，即f（x）的最小值為．（8分）
所以，當f（x）≤log₂a有解，則有 ，解得，即a的取值范圍是．（10分）
點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．