Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知AD＝4, BD＝，AB＝2CD＝8.

（1）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

（1）對于面面垂直的證明，主要是利用線面垂直來結合判定定理得到。
（2）24

試題分析：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD＝4, BD＝,

AB＝8，∴．                   2分
∴ AD⊥BD又 ∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，    4分
∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD， 
∴平面MBD⊥平面PAD.                         7分
（Ⅱ）過P作PO⊥AD交AD于O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．即PO為四棱錐P－ABCD的高.     8分
又 ∵△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴.
在Rt△ADB中，斜邊AB邊上的高為，此即為梯形ABCD的高． 12分∴梯形ABCD的面積故  14分
點評：解決的關鍵是通過面面垂直的判定定理，以及棱錐的體積公式來得到，屬于基礎題。