Question

【題目】已知函數，為的導函數.證明：

（1）在區間存在唯一極小值點；

（2）有且僅有個零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）令，然后得到，得到的單調性和極值，從而證明在區間存在唯一極小值點；

（2）根據的正負，得到的單調性，結合，，的值，得到的圖像，從而得到的單調性，結合和的值，從而判斷出有且僅有個零點.

（1）令，

，

當時，恒成立，

當時，.

∴在遞增，，.

故存在使得，時，時，.

綜上，在區間存在唯一極小值點.

（2）由（1）可得

時，，單調遞減，

時，，單調遞增.

且， .

故的大致圖象如下：

當時，，

∴此時，單調遞增，而.

故存在，使得

故在上，的圖象如下：

綜上，時，，時，，時，.

∴在遞增，在遞減，在遞增，

而，，

又當時，，恒成立.

故在上的圖象如下：

∴有且僅有個零點.