Question

【題目】四棱錐底面是菱形，平面，，分別是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2），垂足為，斜線與平面所成的角為，求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設菱形的邊長為，由勾股定理推導出，，由線面垂直得到，由此能證明面.

（2）過作，垂足為，過作，垂足為，連，則是二面角的平面角，由此能求出二面角的正切值.

（1）證明：∵底面底面是菱形，

∴是正三角形

又為中點，∴，

故，即

∵平面，∴

又，∴平面

而在平面內，∴平面平面

（2）解法一：由（1）知，平面，∴是與平面所成的角

∵，

過作于點，過作于點，連結

∵平面，∴

又，，∴平面

∵AF在平面PAC內，∴

又，，∴平面，進而

∴是二面角的平面角

設，則，

∵，∴，

∴，

∴在直角三角形中，，

又，∴是正三角形，

∴

∴