Question

(本小題滿分12分)
如圖, 是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.
(Ⅰ) 求二面角的余弦值；
(Ⅱ) 設是線段上的一個動點，問當的值為多少時，可使得平面，并證明你的結論.

Answer 1

(Ⅰ) 因為平面，
所以. 因為是正方形，
所以,從而平面.    
所以兩兩垂直，以為原點，分
別為軸建立空間直角坐標系如圖所示.
因為與平面所成角為，即，  所以.
由可知，.                       
則，，，，，
所以，，                     
設平面的法向量為，則，即，
令，則. 
因為平面，所以為平面的法向量，，
所以.                
因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. ………………8分
(Ⅱ)解：點是線段上一個動點，設.則，
因為平面，所以， 即，解得.
此時，點坐標為，符合題意.  ………………12分

略