Question

   在直三棱柱中，=2 ,.點分別是 ,的中點，是棱上的動點.

（I）求證：平面；

(II)若//平面，試確定點的位置，

并給出證明；

(III)求二面角的余弦值.

【

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】本題考查了線面平行與垂直及二面角的求法。第一問抓住線面垂直的判定定理須證，；第二問先說明是棱的中點，再,取的中點H，證明四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理得證；第三問利用法向量求二面角的余弦值，要注意法向量的準確求解和余弦值的正負。

解： (I) 證明：∵在直三棱柱中，，點是的中點，

∴   …………………………1分

,, 

∴⊥平面 ………………………2分

平面

∴，即 …………………3分

又

∴平面      …………………………………4分

  （II）當是棱的中點時，//平面.……………………………5分

證明如下:

連結,取的中點H，連接,

則為的中位線 

∴∥，…………………6分

∵由已知條件，為正方形

∴∥，

∵為的中點，

∴                                       ……………………7分

∴∥，且

∴四邊形為平行四邊形

∴∥

又  ∵          

∴//平面                                    ……………………8分

 

(III) ∵ 直三棱柱且

依題意，如圖：以為原點建立空間直角坐標系，……………………9分

,,,,

則，

設平面的法向量，

則,即，

令，有                             ……………………10分

又平面的法向量為，

==，                    ……………………11分

設二面角的平面角為，且為銳角

．                       ……………………12分.