Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn)
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF；
（3）求三棱錐M-BDE的體積V_M-BDE．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）建立坐標(biāo)系，利用向量法證明

OE

=

AM

，即可得到AM∥平面BDE；
（2）利用向量法證明AM⊥平面BDF；
（3）根據(jù)三棱錐的體積公式即可求V_M-BDE．

解答： 解：建立如圖的直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：
O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），
E（0，-1，1），F(xiàn)（0，1，1），M（0，0，1）．
（1）∵

OE

=（0，-1，1），

AM

=（0，-1，1），
∴

OE

=

AM

，即AM∥OE，
又∵AM?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AM∥平面BDE；
（2）∵

BD

=（2，0，0），

DF

=（-1，1，1）
∴

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0-1+1=0，
∴AM⊥BD，AM⊥DF，
∵BD∩DF=D，
∴AM⊥平面BDF．
（3）∵AB=

2

，AF=1，
∴BD=AC=2，則OA=1，即四邊形OAF為正方形，
連結(jié)OF，交AM于H，
則OH⊥AM，求OH⊥平面BDE，
∵AM∥平面BDE，
∴OH是點(diǎn)M到面BDE的距離．則OH=

1

2

OF=

2

2

，
∵OE=AM=

2

，
∴三棱錐M-BDE的體積V_M-BDE=

1

3

×

1

2

BD•OE•OH=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

2

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線(xiàn)音質(zhì)夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立空間坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相關(guān)直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量是解答本題的關(guān)鍵．