Question

已知圓圓動圓與圓外切并與圓內切，圓心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
（2）是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于兩點，當圓的半徑最長時,求.

Answer 1

(1) （2）

試題分析：解：(1)圖略：設動圓半徑設為動圓與圓外切，即：
動圓與圓內切，即兩式相加得：. 
點的軌跡是以為焦點的橢圓， 
因焦點在x軸上，所以的軌跡方程是,
（2）動圓的半徑設為則
把代入整理得 此時圓心圓的方程是 
與圓,圓都相切，若傾斜角等于為所求；
傾斜角不等于 
與圓：,圓都相切，
,且   整理（1）（2）得

聯立（3）（4），得
切線方程為或,由于對稱性，兩切線與橢圓相交的弦長相等
不妨聯立與整理得：
(求根公式，兩點距離也可以)；（用另一條弦長公式也可以）
，綜上（略）
點評：關于曲線的大題，第一問一般是求出曲線的方程，第二問常與直線結合起來，當涉及到交點時，常用到根與系數的關系式：（）。