Question

【題目】已知f（x）是二次函數，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0

∴f（x）=ax2+bxf（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1f（x+1）

=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b∵f（x+1）

=f（x）+x+1∴ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1

∴ ∴

（2）解：f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立

∴ x＞a在x∈[﹣1，1]恒成立

∴ 在x∈[﹣1，1]恒成立．

∴

【解析】（1）根據函數類型設出函數的解析式，然后根據f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，建立兩個等式關系，解之即可；（2）要使f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，只需研究函數f（x）在閉區間[﹣1，1]上的最小值即可，利用配方法結合二次函數的性質即可求出f（x）的最小值．