Question

【題目】已知函數 ．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為1，求實數a的取值范圍；（其中e為自然對數的底數）；
（3）若 上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）= （x＞0）

∴f'（x）＞0x＞a，f'（x）＜00＜x＜a

∴f（x）在（0，a）上單調遞減，

在（a，+∞）上單調遞增

（2）解：∵x∈[1，e]

∴當a≤1時，f'（x）≥0，

∴f（x）在[1，e]上單調遞增，

故f（x）min=f（1）=a=1

滿足題意

當a≥e時，f'（x）≤0，

∴ a=0（舍去）

當1＜a＜e時，由（1）知f（x）在（1，a）上單調遞減，

在（a，e）上單調遞增，

故f（x）min=f（a）=lna+1=1a=1（舍去）

綜上所述，a=1

（3）解：f（x）＜ x在（1，+∞）上恒成立a＜ ﹣xlnx在（1，+∞）上恒成立

g'（x）=x﹣lnx﹣1

令h（x）=x﹣lnx﹣1h'（x）

=1﹣

當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0

故h（x）在（1，+∞）上單調遞增，

所以h（x）＞h（1）=0

，

所以a≤

【解析】（1）由f'（x）= （x＞0），能推導出f（x）的單調區間．（2）由x∈[1，e]，知當a≤1時，f'（x）≥0，故f（x）min=f（1）=a=1；當a≥e時，f'（x）≤0，推導出a=0（舍去）；當1＜a＜e時，推導出a=1（舍去）．綜上所述，a=1．（3）f（x）＜ x在（1，+∞）上恒成立a＜ ﹣xlnx在（1，+∞）上恒成立． ，g'（x）=x﹣lnx﹣1．h（x）=x﹣lnx﹣1，h'（x）=1﹣ ．由此進行分類討論，能求出實數a的取值范圍．