Question

【題目】如圖，地到火車站共有兩條路徑，據統計兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間在各時間段內的的頻率如下表：

時間（分鐘）
的頻率
的頻率

現甲、乙兩人分別有分鐘和分鐘時間用于趕往火車站.

（1）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？

（2）用表示甲、乙兩人中在允許的時間內趕到火車站的人數，針對（1）的選擇方案，求的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）甲應選擇路徑，乙應選擇路徑；（2）分布列見解析，.

【解析】

（1）用表示事件“甲選擇路徑時，分鐘內趕到火車站”，表示事件“乙選擇路徑時，分鐘內趕到火車站”，、，計算出、、、，并比較、的大小，、的大小，由此可得出結論；

（2）用、分別表示針對（1）的選擇方案，甲，乙在各自的時間內搞到火車站，由（1）知，，可知隨機變量的可能取值有、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的數學期望.

（1）用表示事件“甲選擇路徑時，分鐘內趕到火車站”，表示事件“乙選擇路徑時，分鐘內趕到火車站”，

用頻率估計相應的概率，則有：，，

，所以甲應選擇路徑；

，，

，所以乙應選擇路徑；

（2）用、分別表示針對（1）的選擇方案，甲，乙在各自的時間內搞到火車站，

由（1）知，，且、相互獨立.

由題意可知，隨機變量的取值是、、，

，

，

.

所以的分布列如下表所示：

所以，隨機變量的數學期望為.