Question

【題目】若f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1 ， x2且f（x1）=x1 ， 則關于x的方程3[（f（x）]2+2af（x）+b=0的不同實根個數為（ ）
A.2
B.3
C.4
D.不確定

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1 ， x2 ， 不妨設x1＜x2 ， ∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不相等的實數根，
∴△=4a2﹣12b＞0．解得x= ．
∵x1＜x2 ，
∴x1= ，x2= ．
而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x1或x2 ．
不妨取0＜x1＜x2 ， f（x1）＞0．
①把y=f（x）向下平移x1個單位即可得到y=f（x）﹣x1的圖象，
∵f（x1）=x1 ， 可知方程f（x）=x1有兩解．
②把y=f（x）向下平移x2個單位即可得到y=f（x）﹣x2的圖象，
∵f（x1）=x1 ， ∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．
綜上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2 ． 只有3個實數解．
即關于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同實根．
故選：B．

【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．