Question

.已知函數（1）判定的單調性，并證明。
（2）設，若方程有實根，求的取值范圍。
（3）求函數在上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）當x<-3時，當a>1時，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上單調遞增
當0<a<1時，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上單調遞減
當x>3時，同理。（2）；（3）函數h(x)在[4,6]上的最為，最大值為h(4)=-2。

（1），當x<-3時，任取x₁<x₂<-3
則-＝，
∵(x₁-3)(x₂+3)-(x₁+3)(x₂-3)=6(x₁-x₂)<0，
又（x₁-3）(x₂+3)>0且(x₁+3)(x₂-3)>0
∴<1
∴當a>1時，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上單調遞增
當0<a<1時，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上單調遞減
當x>3時，同理。
（2）若f(x)=g(x)有實根，即:
∴，∴方程有大于3的實根。
∴
＝
當且僅當，即“＝”號成立
∴。
（3），
由得x²-3x-4=0解得x₁=4,x₂=-1（舍去）
當時，單調遞減；
∴函數h(x)在[4,6]上的最為，最大值為h(4)=-2。