Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為， 若橢圓上一點滿足，且橢圓過點，過點的直線與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點是點在軸上的垂足，延長交橢圓于，求證： 三點共線．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可得，再通過點在橢圓上求得，進而得橢圓方程；

（2）由題知直線的斜率必存在，設的方程為，點，直線與橢圓聯立得，由題可得直線方程為，由化簡直線方程為，令，可得直線過點，進而得證.

試題解析：

（1）依題意， ，故，將代入中，

解得，故橢圓；

（2）由題知直線的斜率必存在，設的方程為，

點，聯立得，

即，

由題可得直線方程為，

又∵，

∴直線方程為，

令，整理得

，即直線過點，

又∵橢圓的右焦點坐標為， ∴三點在同一條直線上．