Question

設函數， 是定義域為的奇函數．

（Ⅰ）求的值，判斷并證明當時，函數在上的單調性；

（Ⅱ）已知，函數，求的值域；

（Ⅲ）已知，若對于時恒成立.請求出最大的整數．

 

Answer 1

（Ⅰ），在R上為增函數；（Ⅱ）；（Ⅲ）的最大整數為10.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由奇函數的性質得，由單調性的定義證明 在R上是增函數；

（Ⅱ）由可得，，由換元法令，將函數轉化為二次函數求最值；（Ⅲ）時，原式可化為，令，由分離參數的方法得到，進而得到的取值范圍.本題中用到換元法，換元之后應特別注意變元的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）是定義域為R上的奇函數， ，得．

，，即是R上的奇函數 2分

設，則，

，，， 在R上為增函數 5分

（Ⅱ），即，或（舍去）

則，令，

由（1）可知該函數在區間上為增函數，則

則 8分

當時，；當時，

所以的值域為 10分

（Ⅲ）由題意，即，在時恒成立

令，則

則恒成立

即為恒成立 13分

，恒成立，當時，

，則的最大整數為10 16分

考點：函數的奇偶性，單調性，換元法求函數的最值，用分離參數的方法求參數的取值范圍.