Question

【題目】已知函數(shù)（）

（1）若在區(qū)間[0，1]上有最大值1和最小值-2．求a，b的值；

（2）在（1）條件下，若在區(qū)間上，不等式f（x） 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a=b=1;(2) 實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）.

【解析】試題分析：（1）由于對(duì)稱軸為x=2，所以根據(jù)二次函數(shù)圖像可確定最值取法，列方程組解得a，b的值；（2）分離參變得x 2-3x+1＞ m，只要解x 2-3x+1在上最小值，即得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

試題解析：（1）

f（x）=a（x2-4x）+b=a（x-2）2+b-4a

∵a＞0，∴函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸x=2，

∴f（x）在[0，1]遞減；∴f（0）=b=1，且f（1）=b-3a=-2，∴a=b=1；

（2）f（x）＞-x+m等價(jià)于 x 2-4x+1＞-x+m，

即 x 2-3x+1-m＞0，要使此不等式在上恒成立，

只需使函數(shù)g（x）=x2-3x+1-m在[-1，1]上的最小值大于0即可．

∵g（x）=x2-3x+1-m在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g（x）min=g（1）=-m-1，由-m-1＞0得，m＜-1．

因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）．