Question

【題目】已知函數f（x）=（x+1）ln（x+1），g（x）=kxex（k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），g′（x）為g（x）的導函數，且g′（0）=1，
（1）求k的值；
（2）對任意x＞0，證明：f（x）＜g（x）；
（3）若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍。

Answer 1

【答案】解：（1）g'（x）=k（x+1）ex所以g'（0）=k=1
（2）證明：令G（x）=ex﹣x﹣1，G′（x）=ex﹣1，當x∈（0，+∞），G′（x）＞0，
所以當x∈（0，+∞）時G（x）單調遞增，從而有G（x）＞G（0）=0，x＞0；
所以ex＞x+1＞0x＞ln（x+1）＞0，
∴xex＞（x+1）ln（x+1），
所以當x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）；
（3）令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，
則h′（x）=1﹣a+ln（x+1），令h′（x）=0，解得x=ea﹣1﹣1，
（i）當a≤1時，所以x=ea﹣1﹣1＜0，從而對所有x＞0，h′（x）＞0；h（x）在[0，+∞）上是增函數．
故有x＞0，h（x）＞h（0）=0
即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f（x）≥ax．
（ii）當a＞1時，對于0＜x＜ea﹣1﹣1，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，ea﹣1﹣1）上是減函數，所以對于0＜x＜ea﹣1﹣1有h（x）＜h（0）=0，
即f（x）＜ax，
所以，當a＞1，不是所有的x≥0都有f（x）≥ax成立，
綜上，a的取值范圍是（﹣∞，1]
【解析】（1）先求導，再代入值計算即可；
（2）構造函數G（x），根據函數的單調性，即可證明；
（3）構造函數令h（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，求導，再分類討論，即可求出a的取值范圍．