Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點 在橢圓：上，且橢圓的離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)記橢圓的左、右頂點分別為、,點是軸上任意一點(異于點)，過點的直線與橢圓相交于兩點.

①若點的坐標為，直線的斜率為，求的面積;

②若點的坐標為，連結交于點，記直線的斜率分別為，證明：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②詳見解析.

【解析】

(1)由題意，根據題設條件，列出方程組，求得的值，即可得到答案。

（2）設的坐標分別為，①中，聯立方程組，利用根與系數的關系和弦長公式求得，進而可求解三角形的面積；②中，直線 與橢圓聯立方程組，根據根與系數的關系，求得點的坐標，利用三點共線和斜率公式，即可判定，得到答案。

(1)因為，得，所以橢圓的標準方程是.

（2）設的坐標分別為，

①直線:代入橢圓方程得：，

所以

所以=..

②直線，聯立方程組得：

，

則，

所以.

同理可得：

又因為三點共線，所以，即，將三點坐標

代入上式得：，化簡得

整理得：，因為，所以即11分

又聯立得

所以

所以.

當時，點或，

均滿足.

所以為定值.