Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2^n-1，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{c_n}．（1）若c_n=n，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；（2）若A∩B=∅，數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且c₁=1，c₉=8，求

cn+1

cn

＞

5

4

的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2^n-1，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{c_n}．若c_n=n，n∈N^*，對(duì)元素3、5、6、7進(jìn)行分析，得出數(shù)列{b_n}是公差為1的等差數(shù)列．分類求出即可．
（2）若A∩B=∅，數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且c₁=1，c₉=8，對(duì)元素2進(jìn)行分類討論，從而求得

cn+1

cn

＞

5

4

的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）若c_n=n，因?yàn)?，6，7∉A，則5，6，7∈B，由此可見，
等差數(shù)列{b_n}的公差為1，而3是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)，
所以3只可能是數(shù)列{b_n}中的第1，2，3項(xiàng)，
若b₁=3，則b_n=n+2，
若b₂=3，則b_n=n+1，
若b₃=3，則b_n=n；
（2）首先對(duì)元素2進(jìn)行分類討論：
①若c₂=2，由{c_n}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得c₄=2³=8=c₉，這顯然不可能；
②若c₃=2，由{c_n}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得b₁²=2，
因?yàn)閿?shù)列{c_n}是將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的，
所以b_n＞0，則b1=

2

，因此數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)分別為1，

2

，2，2

2

，4，
這樣bn=

2

n，則數(shù)列{c_n}的前9項(xiàng)分別為1，

2

，2，2

2

，4，3

2

，4

2

，5

2

，
上述數(shù)列符合要求；
③若c_k=2（k≥4），則b₂-b₁＜2-1，
即數(shù)列{b_n}的公差d＜1，
所以b₆=b₁+5d＜2+5=7，1，2，4＜c₉，所以1，2，4在數(shù)列{c_n}的
前8項(xiàng)中，由于A∩B=∅，這樣，b₁，b₂，b₆以及1，2，4共9項(xiàng)，
它們均小于8，即數(shù)列{c_n}的前9項(xiàng)均小于8，這與c₉=8矛盾．
綜上所述，bn=

2

n，
其次，當(dāng)n≤4時(shí)，

cn+1

cn

=

2

＞

5

4

，

c6

c5

=

3 2

4

＜

5

4

，

c7

c6

=

4

3

＞

5

4

，
當(dāng)n≥7時(shí)，cn≥4

2

，因?yàn)閧a_n}是公差為

2

的等差數(shù)列，
所以cn+1-cn≤

2

，
所以

cn+1

cn

=

cn+cn+1-cn

cn

=1+

cn+1-cn

cn

≤1+

2

4 2

=

5

4

，
此時(shí)的n不符合要求．
所以符合要求的n一共有5個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，對(duì)元素3的情況采取分類討論的方法求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)分類討論的思想；對(duì)于（2）的探討，除了分類討論以外，還采用了反證法解決問題，體現(xiàn)了方法的靈活性，增加了題目的難度，屬難題．