Question

(本小題滿分16分)已知橢圓中心為，右頂點(diǎn)為，過定點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn).
（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；
（2）若，直線的斜率為，求證：；
（3）在軸上，是否存在一點(diǎn)，使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）把代入可得：，    （2分）
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號   （4分）
（2）由得，，（6分）
所以
         （9分）
（3）（理）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為：，
由消去整理得 
則    ①         又      ②
若存在定點(diǎn)符合題意，且
         （11分）
把①、②式代入上式整理得
(其中都是常數(shù))
要使得上式對變量恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
，解得                          （13分）
當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)就是橢圓的右頂點(diǎn)，此時(shí)，；   
當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)就是橢圓的左頂點(diǎn)，此時(shí)，； （15分）
當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為
，可驗(yàn)證：或
所以，存在一點(diǎn)（或），使直線和的斜率的乘積為
非零常數(shù)（或）.                     （16分）

略