Question

已知數列{b_n}是等差數列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145．
（1）求數列{b_n}的通項b_n；
（2）設數列{a_n}的通項a_n=log_a（1+

1

bn

）（其中a＞0，且a≠1），記S_n是數列{a_n}的前n項和．試比較S_n與

1

3

log_ab_n+1的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據數列{b_n}是等差數列，建立b₁與d的方程組，解之即可；
（2）因此要比較S_n與

1

3

log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）與

3	3n+1

的大小，利用用數學歸納法證明此式，當a＞1時，S_n＞

1

3

log_ab_n+1，當0＜a＜1時，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．

解答：解：（1）設數列{b_n}的公差為d，由題意得

b1=1 10b1+ 10(10-1) 2 d=145.

解得

b1=1 d=3.

所以b_n=3_n-2．
（2）由b_n=3_n-2，知
S_n=log_a（1+1）+log_a（1+

1

4

）++log_a（1+

1

3n-2

）
=log_a[（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）]，

1

3

log_ab_n+1=log_a

3	3n+1

．
因此要比較S_n與

1

3

log_ab_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）與

3	3n+1

的大小．
取n=1有（1+1）＞

3	3•1+1

，
取n=2有（1+1）（1+

1

4

）＞

3	3•2+1

，
由此推測（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3n-2

）＞

3	3n+1

．①
若①式成立，則由對數函數性質可斷定：
當a＞1時，S_n＞

1

3

log_ab_n+1．
當0＜a＜1時，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．
下面用數學歸納法證明①式．
（ⅰ）當n=1時已驗證①式成立．
（ⅱ）假設當n=k（k≥1）時，①式成立，即
（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）＞

3	3k+1

．
那么，當n=k+1時，
（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3(k+1)-2

）＞

3	3k+1

（1+

1

3k+1

）
=

3 3k+1

3k+1

（3k+2）．
因為[

3 3k+1

3k+1

(3k+2)]3-[

3	3k+4

]3=

(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2

(3k+1)2

=

9k+4

(3k+1)2

＞0，
所以

3 3k+1

3k+1

（3k+2）＞

3	3k+4

=

3	3(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

4

）（1+

1

3k-2

）（1+

1

3k+1

）＞

3	3(k+1)+1

．
這就是說①式當n=k+1時也成立．
由（ⅰ），（ⅱ）知①式對任何正整數n都成立．
由此證得：
當a＞1時，S_n＞

1

3

log_ab_n+1．
當0＜a＜1時，S_n＜

1

3

log_ab_n+1．

點評：本小題主要考查等差數列基本概念及其通項求法，考查對數函數性質，考查歸納、推理能力以及用數學歸納法進行論證的能力．