Question

【題目】已知函數（是自然對數的底數），在處的切線方程是．　

（1）求實數， 的值；

（2）若對任意的， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ．（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，分別求出和，由切線方程可求得實數， 的值；（2）由（1）得，對任意的， 恒成立轉化為任意的， 恒成立，令，對進行討論，求出的最小值，即可求得實數的取值范圍．

試題解析：（1）

依題意得在處的切線斜率為，①

，②

聯立①②解得， ．

（2）由（1）得，

由任意的， 恒成立，

可知任意的， 恒成立，

令，

①當時， ，

，

令，

∵和在上都單調遞增， 在上單調遞增，

∴，∴ ，

∴在上單調遞增；

②當時， ，

則 ，

當時， ， ，∴，即，

∴在上單調遞減，

綜上可知， 在處取得最小值，

故，即的取值范圍是．