Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，點P（1，）在橢圓C上，直線l過橢圓的右焦點與橢圓相交于A，B兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）在x軸上是否存在定點M，使得為定值？若存在，求定點M的坐標；若不在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在軸上存在定點，使得為定值.

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，以及，，的關系，解方程可得，，，進而得到橢圓方程；

（2）假設在軸上存在定點，使得得為定值．設，，，，直線方程與橢圓方程聯立化為，利用根與系數的關系及其數量積運算性質可得，令，解得即可得出．

解：（1）橢圓：的離心率為，

可得，，

點在橢圓上，可得，

解得，，

橢圓的標準方程為：；

（2）假設在軸上存在定點，使得為定值.

設，，

橢圓的右焦點為，設直線的方程為，

聯立橢圓方程，化為，

則，，

.令，解得，可得，因此在軸上存在定點，使得為定值.