Question

【題目】已知函數f（x）.

（1）求函數y=f（x）的單調區間；

（2）若曲線y=f（x）與直線y＝b（b∈R）有3個交點，求實數b的取值范圍；

（3）過點P（﹣1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）增區間是（0，1），單調遞減區間是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）1<b；（3）1，理由見解析.

【解析】

（1）利用的導函數，求得的單調區間.

（2）由（1）判斷出的極大值和極小值，結合與有個交點，求得的取值范圍.

（3）設出切點坐標，利用導數求得切線方程，代入點，得到切點的橫坐標滿足的方程，利用導數證得這個方程只有一個解，由此判斷出可以作條切線.

（1）f′（x）=（x﹣x2）e﹣x，

由f′（x）>0，可得0<x<1，f′（x）<0，可得x<0或x>1，

∴函數的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（﹣∞，0），（1，+∞）；

（2）由（1），f（0）=1，f（1），

∵曲線y=f（x）與直線y=b（b∈R）有3個交點，

∴1<b；

（3）設切點為（m，n），則f′（m）=（m﹣m2）e﹣m，

∴切線方程為y﹣n=（m﹣m2）e﹣m（x﹣m），

代入（﹣1，0），整理可得m3+m2+1=0，

設g（m）=m3+m2+1，g′（m）=3m2+2m，

由g′（m）>0，可得m或m>0，g′（m）<0，可得m<0，

∴函數g（m）的單調遞減區間是（，0），單調遞增區間是（﹣∞，），（0，+∞）；

∵g（）>0，g（0）>0，

∴g（m）=0有唯一解，

∴過點P（﹣1，0）可作1條直線與曲線y=f（x）相切.