Question

下列說法中，正確的有

 

（把所有正確的序號都填上）．
①“?x∈R，使2^x＞3”的否定是“?x∈R，使2^x≤3”；
②函數y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）的最小正周期是π；
③命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f′（x）=0”的否命題是真命題；
④函數f（x）=2^x-x²的零點有2個．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：寫出原命題的否定，可判斷①；利用誘導公式和倍角公式化簡函數的解析式，進而求出周期可判斷②；寫出原命題的否命題，可判斷③；確定函數f（x）=2^x-x²的零點個數，可判斷④．

解答： 解：對于①“?x∈R，使2^x＞3“的否定是“?x∈R，使2^x≤3”，滿足特稱命題的否定是全稱命題的形式，所以①正確；
對于②，函數y=sin（2x+

π

3

）sin（

π

6

-2x）=

1

2

sin（4x+

2π

3

），函數的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

，所以②不正確；
對于③，命題“函數f（x）在x=x₀處有極值，則f'（x₀）=0”的否命題是：若函數f（x）在x=x₀處沒極值，f'（x₀）≠0，則顯然不正確．例如f（x）=x³，x=0不是函數的極值點，但x=0時，導數為0，所以③不正確；
對于④，由題意可知：要研究函數f（x）=x²-2^x的零點個數，只需研究函數y=2^x，y=x²的圖象交點個數即可．畫出函數y=2^x，y=x²的圖象，

由圖象可得有3個交點．所以④不正確；
故正確的命題只有：①，
故答案為：①

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了特稱命題的否定，函數的周期性，取最值的條件，函數零點等知識點，難度中檔．